поддержка
проекта:
разместите на своей странице нашу кнопку!И мы
разместим на нашей странице Вашу кнопку или ссылку. Заявку прислать на
e-mail
код нашей кнопки:
Математическая модель
В отличие от весьма расплывчатого понятия "модель" (например, говорят
о модели в вычислительном эксперименте, модели рационального поведения
человека, модели роста какого-нибудь показателя, управляемой радиомодели
самолета и т. п.) понятие "математическая модель" однозначно. В
математике под моделью понимают множество М, состоящее из элементов
произвольной природы, на которых определено конечное множество
отношений:
R1, R2 ..., Rn
Столь абстрактное определение нуждается в пояснении. Рассмотрим всем
хорошо известное линейное алгебраическое уравнение:
ах + b = 0.
Если считать, что М - множество рациональных чисел, то это уравнение
задает определенное отношение между тремя элементами a, b их, входящими
в это множество. При заданных а и Ь, как известно, такие три элемента
всегда находятся, если a 0. Если рассмотреть квадратичное уравнение
ах(2) + вх + с = 0, то оно на множестве рациональных чисел определяет
отношение между четырьмя элементами а, в, с и х. При заданных a, b и с
это отношение может возникать или не возникать, так как х может не иметь
значения в множестве М. При расширении М до множества действительных
чисел область определения интересующего нас отношения увеличивается, а
при расширении М до множества комплексных чисел возникает еще большее
расширение области определения интересующего нас отношения четверок
элементов (а, в, с, х), превращающих уравнение в тождество.
Если на множестве М заданы бинарные отношения (такие отношения связывают
между собой пары элементов из М), то математическая модель наглядно
изображается в виде графа. На нашем первом рисунке показан такой граф,
соответствующий модели, в которой множество М состоит из шести
персонажей. На этом множестве определены два бинарных отношения: R1 -
быть супругом и - быть отцом. Отношения показаны в графе в виде
соответствующих поименованных дуг. На втором рисунке показан другой
граф, в котором отношение имеет смысл "жить в одном доме". Как видно из
рисунка, Ивановы и Петровы живут вместе в одном доме, а в другом доме
живут остальные семейства, отраженные в модели.
Часто бывает важно подчеркнуть некоторые алгебраические свойства
отношений, определенных на множестве М (это множество часто называют
универсумом или несущим множеством). Наиболее интересны три свойства
отношений: рефлексивность, симметричность и транзитивность. Отношение R
обладает свойством рефлексивности, если любой элемент М, на котором R
определено, вступает в это отношение сам с собой. Отношение "жить в
одном доме" на третьем рисунке является рефлексивным (каждая семья живет
сама с собой в одном доме). Свидетельством рефлексивности являются дуги
в виде петель, показанные на этом графе, отношение R является
симметричным, если из того что элементы т1 и т2 из М связаны с этим
отношением, обязательно следует, из того что и та связаны
этим отношением. Симметричными отношениями являются показанные на наших
рисунке отношения "жить в одном доме" и "быть супругом".
Графически симметричные отношения характерны наличием парных дуг,
направленных навстречу друг другу для всех пар вершин, для которых
отношение имеет место.
